首页 > 高考频道 > 高考备考 > 详细内容

导数公式及推导过程有哪些

  导数公式有哪些

  1.y=c(c为常数) y'=0

  2.y=x^n y'=nx^(n-1)

  3.y=a^x y'=a^xlna

  y=e^x y'=e^x

  4.y=logax y'=logae/x

  y=lnx y'=1/x

  5.y=sinx y'=cosx

  6.y=cosx y'=-sinx

  7.y=tanx y'=1/cos^2x

  8.y=cotx y'=-1/sin^2x

  9.y=arcsinx y'=1/√1-x^2

  10.y=arccosx y'=-1/√1-x^2

  11.y=arctanx y'=1/1+x^2

  12.y=arccotx y'=-1/1+x^2

  2

  导数公式推导过程

  1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0。用导数的定义做也是一样的:y=c,△y=c-c=0,lim△x→0△y/△x=0。

  ⒉这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

  ⒊y=a^x,

  △y=a^(x+△x)-a^x=a^x(a^△x-1)

  △y/△x=a^x(a^△x-1)/△x

  如果直接令△x→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^△x-1通过换元进行计算。由设的辅助函数可以知道:△x=loga(1+β)。

  所以(a^△x-1)/△x=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

  显然,当△x→0时,β也是趋向于0的。而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。

  把这个结果代入lim△x→0△y/△x=lim△x→0a^x(a^△x-1)/△x后得到lim△x→0△y/△x=a^xlna。

  可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x。

  ⒋y=logax

  △y=loga(x+△x)-logax=loga(x+△x)/x=loga[(1+△x/x)^x]/x

  △y/△x=loga[(1+△x/x)^(x/△x)]/x

  因为当△x→0时,△x/x趋向于0而x/△x趋向于∞,所以lim△x→0loga(1+△x/x)^(x/△x)=logae,所以有

  lim△x→0△y/△x=logae/x。

  可以知道,当a=e时有y=lnx y'=1/x。

  这时可以进行y=x^n y'=nx^(n-1)的推导了。因为y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx,

  所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。

  ⒌y=sinx

  △y=sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)

  △y/△x=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)/△x=cos(x+△x/2)sin(△x/2)/(△x/2)

  所以lim△x→0△y/△x=lim△x→0cos(x+△x/2)·lim△x→0sin(△x/2)/(△x/2)=cosx

  ⒍类似地,可以导出y=cosx y'=-sinx。

  ⒎y=tanx=sinx/cosx

  y'=[(sinx)'cosx-sinx(cos)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x

  ⒏y=cotx=cosx/sinx

  y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x

  ⒐y=arcsinx

  x=siny

  x'=cosy

  y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2

  ⒑y=arccosx

  x=cosy

  x'=-siny

  y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2

  ⒒y=arctanx

  x=tany

  x'=1/cos^2y

  y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2y=1/1+x^2

  ⒓y=arccotx

  x=coty

  x'=-1/sin^2y

  y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2

  ⒔联立:

  ①(ln(u^v))'=(v * lnu)'

  ②(ln(u^v))'=ln'(u^v) * (u^v)'=(u^v)' / (u^v)

  另外在对双曲函数shx,chx,thx等以及反双曲函数arshx,archx,arthx等和其他较复杂的复合函数求导时通过查阅导数表和运用开头的公式与

  ⒋y=u±v,y'=u'±v'

  ⒌y=uv,y=u'v+uv'

展开全文

入学资格咨询

深度解析入学要求,提前备战面谈内容 ,学科分析历年题型

HONF微信
  •   圆柱体积计算公式有哪些   π是圆周率,一般取3.14   r是圆柱底面半径   h为圆柱的高   圆柱体体积=底面积×高   V=πr2h=V=sh   还可以是   v=1
    那一世红颜
    jaden
    2019-01-23 13:21:22
    高考备考
  •   高一数学学习什么   高一上学期有的地方是学习必修一和必修四,必修一的主要内容是《集合》、《函数》,必修四的主要内容是《三角函数》、《向量》。但是有些地方是学习
    那一世红颜
    jaden
    2019-01-23 13:21:22
    高考备考
  •   等差数列求和公式及推论   公式:   Sn=n(a1+an)/2   Sn=na1+n(n-1)d/2=dn^2/2+(a1-d/2)n   等差数列基本公式:   末项=首项+(项数-1)×公差   项数=(末项
    那一世红颜
    jaden
    2019-01-23 13:21:21
    高考备考
  •   三角函数二倍角公式是什么   两角和公式   sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB   sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA   cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB   cos(A-B)=cosAcosB+s
    那一世红颜
    jaden
    2019-01-23 13:21:19
    高考备考
  •   圆的周长公式怎么写   第一种:圆的周长=圆周率×直径   c=πd   第二种:圆的周长=圆周率×2×半径   c=2πr   1.到定点的距离等于定长的点
    那一世红颜
    jaden
    2019-01-23 13:21:19
    高考备考
  •   高考语文解题方法归类   一、表达方式:记叙、描写、抒情、说明、议论   二、表现手法:象征、对比、烘托、设置悬念、前后呼应、欲扬先抑、托物言志、借物抒情、联想、
    那一世红颜
    jaden
    2018-07-27
    高考备考
  •   高一语文:单元预习三法   1.根据该单元的体裁,回顾有关知识   如高中第一册第一单元,它包括《荷塘月色》、《绿》、《长江三峡》、《雨中登泰山》四篇文章。这个单元是
    那一世红颜
    jaden
    2018-07-27
    高考备考
  •   1   运动的描述   1.物体模型用质点,忽略形状和大小;地球公转当质点,地球自转要大小。物体位置的变化,准确描述用位移,运动快慢S比t ,a用Δv与t 比。   
    那一世红颜
    jaden
    2018-08-10
    高考备考
  •   用过来人的经验,来告诉大家究竟应该怎么面对高考数学,高考数学究竟应该怎么学才能提高!   一、与其害怕恐惧,不如消灭恐惧   其实我觉得我应该起一个标题,
    那一世红颜
    jaden
    2018-07-27
    高考备考
  • 新惯用语精编及详解41-60   41、开小差:原指军人私自脱离队伍逃跑,后比喻思想不集中。   42、口头禅:经常挂在口头的词句。   43、扣帽子:对人或事不经过调查研究,就加
    那一世红颜
    jaden
    2018-07-24
    高考备考
  •   篇一 高考语文:诗歌鉴赏易混手法的区别   表现手法是理解诗歌的一把钥匙,但有几种手法很相似,容易混用。为了能更准确地理解并掌握这几种手法,下面对它们进行简单的区
    那一世红颜
    jaden
    2018-09-13
    高考备考
  •   【导语】高中学习压力也越来越大,漫无目的、毫无计划的学习只会让大家身心疲惫,不利于学习成绩的提高,所以制定学习计划很重要。无忧考网总结了学霸们的学习经验,给同学们学
    那一世红颜
    jaden
    2019-01-16
    高考备考
  •   今天小编给大家分享的是古诗词鉴赏的10大规律,希望对同学们能够有所帮助!其实诗歌鉴赏也是有套路可言的,看不懂诗的时候,一步步验证,总能找到灵感的~   一、抓诗眼、抓
    那一世红颜
    jaden
    2018-08-02
    高考备考
  • 先易后难先同后异   一、提前进入角色   很多同学都有这样的习惯,每次刚刚考试完,会有很多遗憾,总想如果这次考试要是重新考的话,我会考得比较好。那么,要想在高考
    那一世红颜
    jaden
    2018-07-27
    高考备考
  •   陈京龙 湖南省特级教师 《试题调研》   1、重视基础,全面复习。   我们在考前最后90天要根据2008《考试大纲》解读考纲从字音到写作进行全面系统的梳理,既关注“
    那一世红颜
    jaden
    2018-07-24
    高考备考
推荐学校
国际学校
活动日历
大学列表