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年高考数学复习:解析几何专题热点复习指导

  天津市第四十二中学 张鼎言

  由|-|⊥|-|:x1x2+y1y2

  =-=0

  3m2=2b2(k2+1)(*)

  lOD:y=--x

  -

  x2+y2=-+-

  =-=-

  由(*)3g-=2b2

  x2+y2=-gb2

  若k→∞→|x1|=|y1|

  由原方程-+-=1

  x12=-b2,D(x1,0)在轨迹上

  若k=0

  -+-=1,y22=-b2,D(0,y2)

  ∴D也在轨迹上

  注:本题(Ⅱ)是过两点的直线与椭圆相交,设直线方程一般不用二点式,而采用y=kx+m形式。这是涉及两个参数k、m,消参的过程就是把几何条件(这里是|-|⊥|-|)变成等量关系,通过等量关系(这里是3m2=2b2(k2+1))减少参数个数。

  2.设A(x1,y1),B(x2,y2)两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线。

  (Ⅰ)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?证明你的结论;

  (Ⅱ)当直线l的斜率为2时,求l在y轴上截距的取值范围。

  解:(Ⅰ)x2=-y,F(0,-),准线方程y=--

  ∵A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上,l垂直平分AB且过焦点F,

  ∴|FA|=|FB|

  由抛物线定义:|FA|=y1-(--)=|FB|=y2-(--)

  ∴y1=y2,2x12=2x22,2(x1+x2)(x1-x2)=0,

  ∵A、B是两个不同点,∴x1≠x2

  ∴x1+x2=0是所求结论。

  (Ⅱ)l:y=2x+b,求b的范围?

  这里直线l与抛物线没有直接的关系,因此l必须借助直线lAB,l是线段AB垂直平分线,把l与lAB连接起来,由lAB与抛物线关系,再回到直线l上来。

  lAB:y=--x+m,且过(-,-)

  -

  △=-+8m>0,m>--

  x1+x2=--,-=--,

  y1+y2=--(x1+x2)+2m,-=-+m

  又(-,-)在直线上,-+m=--+b,

  b=m+->--+-=-

  注:本题难点是由l转化为lAB,反过来再由lAB回到l上来。本例提示了一条有普遍意义的规律,有关系较远的两个“元素”之间的关系,转化为关系较近的“元素”之间的关系,再回到原来“元素”之间的关系。

  3.双曲线C与椭圆-+-=1有相同的焦点,直线y=-x为C的一条渐近线。

  (1)求双曲线C的方程;

  (2)过点P(0,4)的直线l,交双曲线C于A、B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合)。当-=λ1-=λ2-,且λ1+λ2=--时,求Q点的坐标。

  解:(Ⅰ)由-+-=1→c=2,又-=-

  ∴双曲线C的方程为x2--=1

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